|
|
 |
Условие
В доме $8N$ этажей. В подъезде два лифта, в каждом из которых кнопки расположены в виде прямоугольника $N\times 8$ ($N$ строк, 8 столбцов), но пронумерованы по-разному: в одном «слева направо, снизу вверх», а в другом «снизу вверх, слева направо» (пример для $N=3$ см. на рисунке). Даня нажимает кнопку своего этажа, не глядя на нумерацию, потому что эта кнопка в обоих лифтах расположена на одном и том же месте. На каком этаже он может жить? (Например, для $N=3$ ответ 1 и 24. Требуется найти все возможные варианты в зависимости от $N$.)
|
|
Решение
Пронумеруем столбцы кнопок числами от $0$ до $7$ слева-направо, а строки — числами от $0$ до $N-1$ снизу вверх. Тогда кнопка, находящаяся на пересечении $x$-й строки и $y$-го столбца в первом лифте будет иметь номер $8x+y+1$, а во втором — $Ny+x+1$. Следовательно, если в первом и во втором лифте на этой кнопке написан номер одного и того же этажа, то $8x+y=Ny+x$.
Преобразуем полученное уравнение в вид $7x=(N-1)y$. Тогда, если $N-1$ не делится на $7$, то $y$ делится на $7$, но тогда либо $y=0$, либо $y=7$. В первом случае получаем $x=0$, во втором случае получаем $x=N-1$, т.е. Даня живёт или на первом, или на последнем этаже.
Пусть теперь $N-1$ делится на $7$. Тогда для каждого $y$ от $0$ до $7$ мы можем вычислить $x=\frac{(N-1)}{7}y$. Т.е. Даня может жить на $8\frac{(N-1)}{7}y+y+1 = \frac{(8N-1)y}{7} + 1$-м этаже, где $y\in \{0,1,\ldots,7\}$.
