Условие
Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $E$, а прямые $BC$ и $AD$ — в точке $F$. В треугольнике $AED$ отмечен центр вписанной окружности $I$, а из точки $F$ проведен луч, перпендикулярный биссектрисе угла $AID$. В каком отношении этот луч делит угол $AFB$?
Решение
Заметим, что угол между биссектрисами углов $AED$ и $AFB$ равен полусумме углов $FAE$ и $FCE$, т.е. $90^{\circ}$. Поэтому угол между биссектрисой угла $AFB$ и лучом $FK$, где $K$ — проекция $F$ на биссектрису угла $AID$, равен (см. рис)
$$180^{\circ}-\angle EIK = 180^{\circ} - (90^{\circ}+\angle A/2) - (180^{\circ} - \angle A/2 - \angle D/2)/2=(\angle D-\angle A)/4=\angle AFB/4,$$ следовательно, и $\angle AFK=\angle AFB/4$.
Ответ
$1:3$
Источники и прецеденты использования
