Задача 66644

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

Пусть $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$, точка $D$ — ее середина, $E$ — проекция $D$ на $AB$. Известно, что $AC = 3 AE$. Докажите, что треугольник $CEL$ равнобедренный.

Решение

Пусть $F$ – проекция $L$ на $AB$, $G$ – точка, симметричная $E$ относительно $F$. Тогда по теореме Фалеса $AE = EF = FG$ и $AG = 3 AE = AC$. Так как $AL$ – биссектриса угла $A$, а $FL$ – серединный перпендикуляр к $EG$, получаем, что $CL = LG = LE$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
Заочный тур
задача
Номер	3 [8 кл]