Условие
В треугольнике $ABC$, где $AB < BC$, биссектриса угла $C$ пересекает в точке $P$ прямую, параллельную $AC$ и проходящую через вершину $B$, а в точке $R$ – касательную из вершины $B$ к описанной окружности треугольника. Точка $R'$ симметрична $R$ относительно $AB$. Докажите, что $\angle R'PB = \angle RPA$.
Решение
Поскольку прямые $BR$ и $BP$ симметричны относительно биссектрисы угла $B$, точки $P$ и $R$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$. Поэтому $\angle R'AB = \angle RAB = \pi - \angle CAP$, т.е прямые $AR'$ и $AC$ симметричны относительно биссектрисы угла $A$. Аналогично прямые $BR'$ и $BC$ симметричны относительно биссектрисы угла $B$. Следовательно, точки $R'$ и $C$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABP$, откуда и получаем утверждение задачи.
Источники и прецеденты использования
