|
|
 |
Условие
Плоскость разбита на выпуклые семиугольники единичного диаметра. Докажите, что любой круг радиуса 200 пересекает не менее миллиарда из них.Решение
Рассмотрим круг $K$ радиуса $R$. Внутри него имеется $k$ вершин наших семиугольников, средний угол при таких вершинах не превосходит $2\pi/3$. (В более чем тройной развилке средний угол еще меньше, а если несколько углов выходят на сторону, то средний такой угол не больше $\pi/2$).С другой стороны, рассмотрим семиугольники, пересеченные $K$ или находящиеся внутри $K$. Средний угол при вершине равен $5\pi/7$. Пусть $n$ – число их вершин вне $K$, все они находятся в единичной окрестности круга $K$. Угол при каждой такой вершине не больше $\pi$ (впрочем, это верно для любого угла выпуклого многоугольника).
Чтобы удовлетворился баланс средних, должно выполняться $n\pi+k\cdot 2\pi/3 > (n+k)5\pi/7$. Откуда $n > k/6$.
Итак, в единичном слое, окружающем $K$, число вершин больше, чем число вершин внутри $K$, деленное на $6$.
Теперь заметим, что $(1+1/6)^6 > 2$, $(1+1/6)^{60} > 2^{10} > 1000$ и $(1+1/6)^{180} > 1000^3$.
Отсюда легко видеть, что число семиугольников (число углов, деленное на $7$) в круге радиуса $200$ не меньше $10^9$ (поскольку $6$ слоев удваивают его, $18$ увеличивают в $8 > 7$ раз и еще одна каемка покрывает все задетые ранее семиугольники).
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2018 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 23 [10-11 кл] |
