|
|
 |
Условие
В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, $D$ – произвольная точка на стороне $BC$, серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пресекает прямые $BI$ и $CI$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников $EIF$.Решение
Пусть $G$, $H$ – ортоцентры треугольников $DEF$, $IEF$ соответственно. Так как треугольники $DEF$ и $AEF$ симметричны относительно $EF$, точка $G$ симметрична ортоцентру треугольника $AEF$ и, значит, лежит на окружности, описанной около этого треугольника.Точка $E$ пересечения серединного перпендикуляра к $AD$ с биссектрисой угла $C$ лежит на описанной окружности треугольника $ACD$. Поэтому (так как $AIF$ – внешний угол треугольника $AIB$) $$\angle AEF=\angle AED/2=90^{\circ}-\angle C/2=\angle A/2+\angle B/2=\angle AIF,$$ т.е. $I$ лежит на окружности $AEF$. Тогда из вписанности четырехугольников $AEDC$ и $AEIG$ следует, что $IG\parallel CD$.
Так как $\angle EHF=180^{\circ}-\angle EIF=\angle EAF=\angle EDF$, точки $E$, $F$, $D$, $H$ лежат на одной окружности. Следовательно, $IH=DG$. Кроме того, очевидно, что $DG\parallel IH$. Значит, $IGDH$ – параллелограмм и $H$ лежит на $BC$. Если $D$ совпадает, например, с вершиной $C$, то $DG$ совпадает с $AC$ и $IH\parallel AC$. Отсюда, очевидно, следует ответ.
