Условие
Дан описанный четырёхугольник $ABCD$. Докажите, что точка пересечения диагоналей, центр вписанной окружности треугольника $ABC$ и центр вневписанной окружности треугольника $CDA$, касающейся стороны $AC$ лежат на одной прямой.
Решение 1
Пусть $L$ – точка пересечения диагоналей четырехугольника, $I$ – центр его вписанной окружности, $I_B$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, $I_D$ – центр вневписанной окружности треугольника $ADC$. Очевидно, что $I_B$ лежит на отрезке $BI$, причем отношение $BI_B:BI$ равно отношению $r_B:r$ радиусов окружностей, вписанных в треугольник $ABC$ и четырехугольник $ABCD$ соответственно. С учетом равенств $S_{ABCD}=(AB+BC+CD+DA)r/2$, $S_{ABC}=(AB+BC+CA)r_B/2$ и $S_{ABC}:S_{ABCD}=BL:BD$ получаем, что
$$
\frac{I_BI}{I_BB}=\frac{DL(AB+BC+CA)-BL(AD+CD-AC)}{BL(AB+BC+CD+DA)}.
$$
Аналогично для лежащей на луче $DI$ точки $I_D$ получаем
$$
\frac{I_DI}{I_DD}=\frac{DL(AB+BC+AB)-BL(AD+CD-AC)}{DL(AB+BC+CD+DA)}.
$$
Применяя теорему Менелая к треугольнику $IBD$, получаем утверждение задачи.
Решение 2
Применяя теорему о трех колпаках к вписанной окружности $ABCD$, вписанной окружности $\omega$ треугольника $ABC$ и вневписанной окружности $\Omega$ треугольника $ACD$, получаем, что общие внешние касательные к $\omega$ и $\Omega$ пересекаются на $BD$, а поскольку $AC$ – одна из этих двух касательных, то пересекаются они как раз в точке пересечения диагоналей $ABCD$. Значит, эта точка лежит на линии центров $\omega$ и $\Omega$, что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
