ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66702
Темы:    [ Дроби (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Дидин М.

Существуют ли такие 2018 положительных несократимых дробей с различными натуральными знаменателями, что знаменатель разности каждых двух из них (после приведения к несократимому виду) меньше знаменателя любой из исходных 2018 дробей?


Решение 1

Рассмотрим дроби  $\dfrac{1+q}{1},~ \dfrac{2+q}{2q}, ..., \dfrac{2018+q}{2018q},$  где  $q = 2018! + 1$. Они несократимы, так как  $(q, i) = 1$  при  $1 \leqslant i \leqslant 2018$.
Разность таких дробей равна  $\dfrac{i+q}{iq} - \dfrac{j+q}{jq} = \dfrac{j-i}{ij}$.  Её знаменатель меньше $q$, а в несократимом виде – тем более.


Решение 2

Выберем любые 2018 положительных несократимых дробей со знаменателями  $b_1 > b_2 > ... > b_{2018} > 0$.  Выберем ещё одну положительную несократимую дробь вида 1/d, знаменатель $d$ которой больше $b_1b_2$ и взаимно прост с $b_1b_2...b_{2018}$. Прибавим к каждой из 2018 дробей новую дробь. Полученные суммы искомые, так как их знаменатели в несократимом виде будут равны $db_i$, а у разностей – не больше $b_1b_2$.


Ответ

Существуют.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 39
Дата 2017/18
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 классы
задача
Номер 3
олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 39
Дата 2017/18
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 классы
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .