ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66709
Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через $P$ и параллельная касательной к окружности в точке $D$, пересекает в точках $U$ и $V$ касательные, проведённые к окружности в точках $A$ и $B$. Докажите, что окружности, описанные около треугольника $CUV$ и четырёхугольника $ABCD$, касаются.


Решение

  Пусть лучи $UC$ и $VC$ пересекают в точках $K$ и $L$ касательную, проведённую из точки $D$, и вторично окружность в точках $X$ и $Y$ (см. рис.). Пусть $T$ – общая точка касательных, проведённых из $A$ и $B$. Запишем теорему Менелая для треугольника $UVT$ и прямой $BP$:  $\dfrac{UP}{PV} \cdot\dfrac{VB}{BT}\cdot\dfrac{TA}{AU} = 1$.  Учитывая, что  $BT = TA$  и  $\dfrac{UP}{PV} = \dfrac{KD}{DL}$,  получаем  $\dfrac{KD\cdot VB}{DL\cdot AU}=1$  (если точка $T$ не существует, то это равенство очевидно), то есть  $\dfrac{UA}{KD} = \dfrac{VB}{LD}$.  По теореме о секущей и касательной  $\dfrac{UX\cdot UC}{KX \cdot KC} = \dfrac{UA ^2}{KD^2} = \dfrac{VB^2}{LD^2} = \dfrac{VY\cdot VC}{LY \cdot LC}$.  Поскольку  $\dfrac{UC}{KC} = \dfrac{VC}{LC}$,  то  $\dfrac{UX}{KX} = \dfrac{VY}{LY}$.
  Следовательно, по обратной теореме Фалеса прямые $XY$ и $UV$ параллельны. Поэтому существует гомотетия с центром $C$, переводящая треугольник $CXY$ в треугольник $CUV$. Значит, их описанные окружности касаются в точке $C$, что и требовалось.

             

Замечания

10 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 39
Дата 2017/18
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 классы
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .