|
|
 |
Условие
Найдите все натуральные $n$, удовлетворяющие условию: числа $1, 2, 3, \ldots, 2n$ можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.
Решение
$1 + 2$ – не квадрат. Пусть $n > 1$.
Первый способ. Разобьём эти числа на четвёрки подряд идущих, и, если надо, шестёрку первых чисел. Из четвёрок образуем $(a + (a + 3))((a + 1) + (a + 2)) = (2a + 3)^2$, из шестёрки – $(1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)=18^2$.
Второй способ. Если $n$ чётно, то $(1 + 2n)(2 + (2n - 1))...(n + (n + 1)) = (2n + 1)^n$ – квадрат.
Если $n$ нечётно, то $(1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)(7 + 2n)(8 + (2n - 1))...((n + 3) + (n + 4)) = 18^2(2n + 7)^{n-3}$ – квадрат.
Ответ
Все $n > 1$.
Замечания
1. Для $n = 2, 3$ разбиение единственно, в остальных случаях – нет.
2. 4 балла.
