|
|
 |
Условие
Клетчатый прямоугольник размера 7×14 разрезали по линиям сетки на квадраты 2×2 и уголки из трёх клеток. Могло ли квадратов получиться
а) столько же, сколько уголков;
б) больше, чем уголков?
Решение
а) Разобьём прямоугольник на полоски из двух столбцов, а каждую из полосок – как на рисунке.
б) Докажем, что требуется хотя бы 14 уголков. Тогда квадратов будет не больше (7·14 – 3·14) : 4 = 14.
Первый способ. Выставляя фигурки, будем следить за чётностью количества покрытых клеток в каждом столбце. Квадраты не меняют эту чётность, а уголок меняет чётность только одного столбца. Сначала все столбцы были чётными, а должны стать нечётными. Следовательно, потребуется хотя бы 14 уголков.
Второй способ. Раскрасим прямоугольник "в полоску": все нечётные горизонтали – чёрные, а чётные – белые. При этом чёрных клеток будет на 14 больше, чем белых. Но в квадрате число чёрных клеток равно числу белых, а в уголке их количества отличаются на единицу. Следовательно, потребуется не меньше 14 уголков.
Ответ
а) Могло. б) Не могло.
Замечания
баллы: 1 + 3
