|
|
 |
Условие
По кругу лежит $2n + 1$ монета орлом вверх. Двигаясь по часовой стрелке, делают $2n + 1$ переворот: переворачивают какую-то монету, одну монету пропускают и переворачивают следующую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и переворачивают следующую, и т.д., наконец пропускают 2n монет и переворачивают следующую. Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх.
Решение
Пусть (n–1)-я перевёрнутая монета – $X$, а $n$-я – $Y$. Тогда между $X$ и $Y$ по часовой стрелке лежит $n - 1$ монета, а раз всего монет в круге $2n + 1$, то между $Y$ и Х по часовой стрелке лежит $n$ монет (см. рисунок). Это значит, что (n+1)-й мы снова перевернём монету $X$.
И далее мы будем переворачивать уже переворачивавшиеся монеты, но в обратном порядке: ведь пропустить по часовой стрелке $n + 1$ монету – всё равно, что пропустить против часовой стрелки $n - 2$ монеты, ..., пропустить по часовой стрелке $2n - 2$ монеты – всё равно, что пропустить против часовой стрелки 1 монету. А на последних двух шагах мы перевернём одну и ту же монету.
В итоге решкой вверх будет лежать только монета $Y$ – она переворачивалась нечётное число раз, а все остальные монеты – чётное.
Замечания
4 балла
