|
|
 |
Условие
Расстояние от некоторой точки внутри правильного шестиугольника до трёх его последовательных вершин равны 1, 1 и 2 соответственно.
Чему равна сторона этого шестиугольника?
Решение
Пусть $A, B, C$ – последовательные вершины шестиугольника, $O$ – точка внутри него, $OA = OB = 1, OC = 2$.
Первый способ. Рассмотрим другую соседнюю с $A$ вершину $F$. Тогда $FABC$ – равнобедренная трапеция (рис. слева). Точка $O$ лежит на общем серединном перпендикуляре её оснований $FC$ и $AB$, поэтому $OF = OC = 2$. Иак как при этом $FC = 2AB$ , треугольники $AOB$ и $FOC$ подобны с коэффициентом 2. Поскольку точка $O$ – центр гомотетии, переводящей один из этих треугольников в другой, она лежит на диагонали $AC$ (аналогично она лежит на диагонали $BF$). Тогда $\angle OBC = 120^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ}$, и $BC = \sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}$ .
Второй способ. Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. Построим вне шестиугольника равносторонний треугольник $ABD$ (рис. справа). Ясно, что тогда $OD$ – серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Кроме того, так как $DB : DC = 1:2 = OB : OC$, то $OD$ – биссектриса внешнего угла $O$ треугольника $BOC$. Значит, она перпендикулярна биссектрисе $OE$ угла $BOC$. В силу равенства $\angle BAO = \angle ABO = \angle BOE = \angle EOC$, точки $A, O, C$ лежат на одной прямой. В треугольнике $ADC$, ∠D = 60°, $DC = 2DA$, следовательно, угол $DAC$ прямой, а AB = AD = AC ctg∠D = 3 ctg 60° = $\sqrt{3}$.
Ответ
$\sqrt{3}$.
Замечания
4 балла
