Задача 66746
|
|
 |
Условие
На прямой сидят 2019 точечных кузнечиков. За ход какой-нибудь из кузнечиков прыгает через какого-нибудь другого так, чтобы оказаться на прежнем расстоянии от него. Прыгая только вправо, кузнечики могут добиться того, чтобы какие-то двое из них оказались на расстоянии ровно 1 мм друг от друга. Докажите, что кузнечики могут добиться того же, прыгая из начального положения только влево.
Решение
Назовём самого левого кузнечика Ричардом. Пусть сначала все остальные кузнечики перепрыгнут через Ричарда. Теперь кузнечики находятся в положении, симметричном изначальному. Поэтому они могут, используя ходы, симметричные тем, которые делали бы при прыжках вправо, добиться требуемого.
Замечания
Баллы: 8-9 кл. – 7, 10-11 кл. – 6.
