Условие
В треугольнике $ABC$ $AA_1$, $CC_1$ – высоты, $P$ – произвольная точка на стороне $BC$. Точка $Q$ на прямой $AB$ такова, что $QP=PC_1$, а точка $R$ на прямой $AC$ такова, что $RP=CP$. Докажите, что четырехугольник $QA_1RA$ вписанный.
Решение
Очевидно, что точки $A$, $C$, $A_1$, $C_1$ лежат на одной окружности, обозначим ее $\omega_1$. Заметим также, что середины $X$ и $Y$ отрезков $QC_1$ и $RC$ являются проекциями точки $P$ на $AB$ и $AC$ соответственно, следовательно, $X$, $Y$ и $A_1$ лежат на окружности $\omega_2$ с диаметром $AP$. Пусть точка $O$ симметрична центру $\omega_1$ (середина $AC$) относительно центра $\omega_2$. По теореме Фалеса проекции $O$ на $AB$ и $AC$ являются серединами отрезков $AQ$ и $AR$ соответственно, т.е. $O$ – центр окружности, проходящей через $A$, $Q$ и $R$. Поскольку $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AA_1$, точка $A_1$ также лежит на этой окружности.
Источники и прецеденты использования
