Условие
В треугольнике $ABC$ $O$ – центр описанной окружности, $H$ – ортоцентр, $M$ – середина $AB$. Прямая $MH$ пересекает прямую, проходящую через $O$ и параллельную $AB$, в точке $K$, лежащей на описанной окружности треугольника. Точка $P$ – проекция $K$ на $AC$. Докажите, что $PH\parallel BC$.
Решение
Пусть $Q$ – проекция $K$ на $BC$. Тогда $PQ$ – прямая Симсона точки $K$, следовательно, $PQ$ делит пополам отрезок $HK$, а угол между $PQ$ и высотой $CH$ (прямой Симсона точки $C$) равен половине угла $COK$. Но $OK$ – серединный перпендикуляр к отрезку $CL$, где $L$ – вторая точка пересечения $CH$ с описанной окружностью. Поэтому $\angle HCK=\angle CLK=\angle COK/2$, т.е. $PQ\parallel CK$. Значит $PQ$ делит пополам отрезок $CH$. Кроме того, прямая $MH$ вторично пересекает описанную окружность в точке $C'$, диаметрально противоположной $C$, причем $C'M=MH$. Поэтому $CK\perp KC'$, т.е. соответственные стороны треугольников $CPQ$ и $BHC'$ перпендикулярны. Тогда и медианы этих треугольников перпендикулярны, следовательно, $CH$ делит пополам отрезок $PQ$ и $CPHQ$ – параллелограмм.
Источники и прецеденты использования
