|
|
 |
Условие
С помощью фанерного квадрата постройте правильный треугольник (можно проводить прямые через две точки, расстояние между которыми не превышает стороны квадрата, проводить перпендикуляр из точки на прямую, если расстояние между ними не превышает стороны квадрата, и откладывать на проведенных прямых отрезки, равные стороне или диагонали квадрата).Решение
Пусть сторона квадрата равна $1$. Покажем, как построить середину любого отрезка $PQ$, длина которого не превосходит $1$. Проведем через $P$ произвольную прямую $\ell$, отличную от прямой $PQ$ и не перпендикулярную ей. Пусть $R$ – проекция $Q$ на $\ell$, а $S$ – точка пересечения перпендикуляров из $P$ и $Q$ к $PR$ и $QR$ соответственно. Тогда $RS$ делит $PQ$ пополам.
Теперь для решения задачи построим две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $A$ и отложим на них отрезки $AB=AC=\frac{1}{2}$ (сначала построим отрезки $AB'=AC'=1$, затем разделим их пополам). Построим отрезок $BC$ и перпендикуляр к нему из точки $C$. Построим такую точку $D$, что $\angle BCD=90^{\circ}$ и $CD=\frac{1}{2}$. Построим отрезок $BD$ и перпендикуляр к нему из точки $D$. Построим точки $E$ и $F$ такие, что $\angle BDE=\angle BDF=90^{\circ}$ и $DE=DF=\frac{1}{2}$. Треугольник $BEF$ искомый, поскольку его основание $EF=1$, а высота и медиана $BD=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
