ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66799
УсловиеДан треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $MN\parallel AC$. Точки $M'$ и $N'$ симметричны соответственно точкам $M$ и $N$ относительно сторон $BC$ и $AB$ соответственно. Пусть $M'A$ пересекает $BC$ в точке $X$, а $N'C$ пересекает $AB$ в точке $Y$. Докажите, что точки $A$, $C$, $X$, $Y$ лежат на одной окружности.РешениеПусть $A'$, $C'$ – точки, симметричные $A$ и $C$ относительно прямых $BC$ и $AB$ соответственно, а $AA_1$ и $CC_1$ – высоты треугольника $ABC$. Применив теорему Менелая к треугольнику $A'BA_1$ и прямой $AXM'$, получим $\frac{BX}{XA_1} = 2 \cdot \frac{BM'}{M'A'} = 2 \cdot \frac{BM}{MA}$. Аналогично $\frac{BY}{YC_1} = 2 \cdot \frac{BN}{NC}$. Так как $MN \parallel AC$, то $\frac{BM}{MA} = \frac{BN}{NC}$, т.е. $\frac{BX}{XA_1} = \frac{BY}{YC_1}$ и $XY \parallel A_1C_1$, откуда следует утверждение задачи. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|