|
|
 |
Условие
Пусть точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$. Точка $A_1$, лежащая на дуге $BC$ описанной около треугольника окружности $\omega$, удовлетворяет условию $\angle BA_1P=\angle CA_1Q$. Точки $B_1$ и $C_1$ определены аналогично. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.Решение
Пусть $A'_1$ – точка Микеля прямых $BP$, $BQ$, $CP$ и $CQ$. Тогда $\angle BA'_1C=(\pi-\angle BPC)+(\pi-\angle BQC)=\pi-\angle A$, следовательно, $A'_1$ лежит на $\omega$.
Кроме того, $A_1'$ – центр поворотной гомотетии, переводящей $B$ в $P$, а $Q$ в $C$ (а также центр поворотной гомотетии, переводящей $B$ в $Q$ и $P$ в $C$). Поэтому $\angle BA'_1P=\angle CA'_1Q$. Значит $A'_1$ совпадает с $A_1$ (условие $\angle BA_1P=\angle CA_1Q$ однозначно определяет точку $A_1$, поскольку при ее движении по дуге $BC$ один из углов возрастает, а другой убывает). Тогда, поскольку треугольник $A_1BP$ подобен треугольнику $A_1QC$, а треугольник $A_1BQ$ – треугольнику $A_1PC$, мы получаем, что $$\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{BA_1}{A_1P} \cdot \frac{PA_1}{A_1C}= \frac{BQ}{PC} \cdot \frac{BP}{QC}= \frac{BP\cdot BQ}{CP\cdot CQ}.$$ Найдя аналогично отношения $CB_1:B_1A$ и $AC_1:C_1B$, получим, что произведение трех найденных отношений равно единице. По теореме Чевы получаем, что главные диагонали вписанного шестиугольника $AC_1BA_1CB_1$ пересекаются в одной точке.
