Задача 66846

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Грибалко А.В.

Можно ли в каждую клетку таблицы 40×41 записать по целому числу так, чтобы число в каждой клетке равнялось количеству тех соседних с ней по стороне клеток, в которых написано такое же число?

Решение

Пример 1. Сделаем это для произвольной таблицы. Разобьём её сеткой на прямоугольники так, что ширина полос по каждому направлению чередуется: 1, 2, 1, 2... . Ясно, что это возможно. Тогда таблица разобьётся на квадраты 2×2, домино 1×2 и квадратики 1×1. В квадраты впишем двойки, в домино – единицы, в квадратики – нули. Условие будет выполнено, поскольку фигурки одного вида не имеют общих сторон.

Пример 2. Разобьём таблицу на чередующиеся прямоугольники 1×41 и 3×41. В больших окантовку заполним двойками. Оставшиеся полоски 1×$n$ разобьём на чередующиеся доминошки (с единицами) и квадратики (с нулями).

Ответ

Можно.

Замечания

1. Есть и другие примеры, но все они состоят из 0, 1 и 2.

2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	41
Год	2019/20
неизвестно
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1