Задача 66858
|
|
 |
Условие
На плоскости даны две параболы: $y = x^2$ и $y = x^2 - 1$. Пусть $U$ – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более $10^6$, целиком содержащийся в $U$?
Решение
Касательная к первой параболе в точке $(a, a^2)$ имеет уравнение $y = 2a(x - a) + a^2$. Точки пересечения этой прямой со второй параболой – это $A(a - 1, (a - 1)^2 - 1)$ и
$B(a + 1, (a + 1)^2$ – 1). Отрезок $AB$ целиком лежит в $U$, а квадрат его длины, равный $2^2 + 16a^2$, может быть сколь угодно велик.
Ответ
Существует.
Замечания
4 балла
