|
|
 |
Условие
Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника?Решение
Пусть $a\leqslant b\leqslant c$ — длины сторон треугольника. Тогда стороны разделятся на такие части: $$a =\frac{ab}{b+c} + \frac{ac}{b+c}, \quad b = \frac{ba}{a+c} +\frac{bc}{a+c}, \quad c=\frac{ca}{a+b}+\frac{cb}{a+b}.$$
Из отрезков, составляющих $c$, первый меньше $a$, а второй меньше $b$ (так как $\frac{c}{a+b}<1$).
Тогда возьмём в первую тройку отрезки $\frac{ab}{b+c}$, $\frac{ac}{b+c}$ составляющие $a$, и отрезок $\frac{ca}{a+b}$. Последний из них наибольший (его знаменатель не больше, а числитель не меньше, чем у других), но меньше $a$.
Во вторую тройку возьмём отрезки $\frac{ba}{a+c}$ и $\frac{bc}{a+c}$, составляющие $b$, и отрезок $\frac{cb}{a+b}$. Последний из них наибольший (аналогично), но меньше $b$.
Возможны и другие способы разбить отрезки на две тройки.
