Задача 66918

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Акопян А.В.

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Пусть $O$ – точка пересечения общих внешних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$. Прямая, проходящая через точку $O$, пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, что эти две точки лежат по одну сторону от $PQ$. Прямая $PA$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $C$, а прямая $QB$ повторно пересекает $\omega_1$ в точке $D$. Докажите, что $O$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.

Решение

Из вписанности четырехугольников $ADPQ$ и $BPCQ$ следует, что $\angle DAC=\angle DQP=\angle BCP$, т.е. $AD\parallel BC$. Поскольку точка $O$ является центром гомотетии данных окружностей и $A$ при этой гомотетии переходит в $B$, то $D$ переходит в $C$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2020
Заочный тур
задача
Номер	6 [8-9 кл]