Условие
В четырехугольнике $ABCD$ $AB\perp CD$ и $AD\perp BC$. Докажите, что существует точка, расстояния от которой до прямых, содержащих стороны четырехугольника, пропорциональны этим сторонам.
Решение
Из условия следует, что высоты $AA'$ и $CC'$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $D$. Отразим медиану треугольника $ABC$,
проведенную из вершины $B$, относительно его биссектрисы из той же вершины и найдем точку пересечения $L$ полученной прямой с $A'C'$. Так как точки
$A$, $C$, $A'$, $C'$ лежат на окружности с диаметром $AC$, $\angle LA'C=\angle DAC=\pi/2-\angle BCA$. Поэтому отношение расстояний от $L$ до $AB$ и
$CD$ равно $\frac{\sin\angle LA'B}{\sin\angle LA'C}= \operatorname{tg}\angle BCA$. Но $AB = 2R \sin \angle BCA$, $CD = 2R \cos\angle BCA$, где $R$ – радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Следовательно, расстояния от $L$ до сторон $AB$ и $CD$ пропорциональны этим сторонам. Аналогично получаем искомую пропорциональность для сторон $AD$ и $BC$. Кроме того, так как $L$ лежит на прямой, симметричной медиане треугольника относительно его биссектрисы, расстояния от $L$ до $AB$ и $BC$ также пропорциональны этим сторонам, т.е. $L$ – искомая точка.
Источники и прецеденты использования
