Условие
Дан вписанный в окружность $\Omega$ четырехугольник $ABCD$. На диагонали $AC$ берутся пары точек $P$, $Q$ таких, что лучи $BP$ и $BQ$ симметричны относительно биссектрисы угла $B$. Найдите геометрическое место центров окружностей $PDQ$.
Решение
Пусть прямые $BP$ и $BQ$ повторно пересекают окружность $ABCD$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Так как $\angle ABP=\angle CBQ$, дуги $AR$ и $CS$ равны, т.е. $AC\parallel RS$. Поэтому гомотетия с центром $B$ переводит треугольник $BPQ$ в $BRS$, а окружности $BPQ$ и $BRS=ABCD$ касаются в точке $B$. Пусть их общая касательная пересекает $AC$ в точке $X$, а прямая $DX$ повторно пересекает окружность $ABCD$ в точке $E$. Заметим, что $X$ и $E$ не зависят от $P$ и $Q$.
Поскольку $BX$ – радикальная ось окружностей $ABCD$ и $BPQ$, а $AC$ – радикальная ось окружностей $BPQ$ и $DPQ$, то прямая $DEX$ – радикальная ось окружностей $ABCD$ и $DPQ$. Следовательно, $E$ лежит на окружности $DPQ$ при любых положениях точек $P$, $Q$. Таким образом искомое ГМТ состоит из точек $O$ серединного перпендикуляра к $DE$, для которых окружность с центром $O$, проходящая через $D$ и $E$, пересекает прямую $AC$. Точки, не удовлетворяющие этому условию, образуют некоторый интервал.
Источники и прецеденты использования
