ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66938
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Cерединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает прямые $BC$, $AB$ в точках $A_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Точки $O$, $O_{1}$ – центры описанных окружностей треугольников $ABC$ и $A_{1}BC_{1}$ соответственно. Докажите, что $C_{1}O_1\perp AO$.

Решение

Рассмотрим случай остроугольного треугольника $ABC$, остальные случаи аналогичны. Так как $$\angle AOC=2\angle ABC=2(180^{\circ}-\angle A_1BC_1)=\angle A_1O_1C_1,$$ треугольники $AOC$ и $C_1O_1A_1$ подобны и одинаково ориентированы (см. рис.). Так как их соответственные стороны $AC$ и $A_1C_1$ перпендикулярны, $AO$ и $C_1O_1$ также перпендикулярны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2021
Заочный тур
задача
Номер 2 [8 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .