ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66952
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Бибиков П.

Рассмотрим две окружности $\Omega$ и $\omega$, касающиеся друг друга внутренним образом в точке $A$. Пусть хорда $BC$ окружности $\Omega$ касается окружности $\omega$ в точке $K$. Пусть также $O$ – центр $\omega$. Тогда окружность $BOC$ делит отрезок $AK$ пополам.

Решение

Пусть $M$ – середина $AK$, а касательная к $\omega$ и $\Omega$ в точке $A$ пересекает $BC$ в точке $X$. Тогда $XA^2= XB\cdot XC$; также $XA^2=XM\cdot XO$ в силу подобия треугольников $XMA$ и $XAO$. Значит $XB\cdot XC=XM\cdot XO$, т.е. четырехугольник $BOMC$ – вписанный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2021
Заочный тур
задача
Номер 16 [9-11 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .