ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66971
Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Точка Торричелли ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $T$, такая что $\angle ATB = \angle BTC = 120^\circ$. Окружность с центром $E$ проходит через середины сторон треугольника $ABC$. Оказалось, что точки $B,T,E$ лежат на одной прямой. Найдите угол $ABC$.

Решение

Пусть $A_0$, $B_0$, $C_0$ – середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно, $D$ – вершина правильного треугольника $ABD$, построенного во внешнюю сторону. Известно, что точка $T$ лежит на отрезке $BD$. При гомотетии с центром $B$ и коэффициентом $1/2$ прямая $B_0D$ переходит в серединный перпендикуляр к отрезку $A_0C_0$, следовательно, $E$ – середина $BD$ и $\angle C_0EA_0=60^{\circ}$. Соответственно, $\angle ABC=\angle A_0B_0C_0=30^{\circ}$.


Ответ

$30^{\circ}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2021
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .