Условие
На плоскости проведены три прямые, образующие остроугольный неравнобедренный треугольник. Федя, у которого есть циркуль и линейка, хочет провести все высоты этого треугольника. Ваня с ластиком пытается ему помешать. За ход Федя проводит либо прямую через две отмеченные точки, либо окружность с центром в отмеченной точке, проходящую через другую отмеченную точку. После этого Федя отмечает любое количество точек (точки пересечения проведенных линий, случайные точки на проведенных линиях и случайные точки плоскости). Ваня за ход стирает не более трех отмеченных точек. (Федя не может использовать стертые точки в своих построениях, пока не отметит их снова). Ходят по очереди, начинает Федя. Изначально никакие точки плоскости не отмечены. Может ли Федя провести высоты?
Решение
Заметим, что, если дана прямая на плоскости, то Федя может отметить достаточно много точек на ней, затем построить окружности с центрами в этих точках и отметить точки их пересечения и наконец, проведя прямые через точки пересечения пар окружностей,получить достаточно много прямых, перпендикулярных данной. Повторяя эти операции для перпендикулярной прямой,Федя получит много прямых, параллельных исходной прямой. Таким образом, Федя может построить много прямых, параллельных стороне $AB$ данного треугольника $ABC$ и отметить их точки пересечения $A_i$, $B_i$ с $BC$, $AC$ соответственно. Далее, строя окружности с центрами на $AC$, проходящие через точки $A_i$, и отмечая точки пересечения пар таких окружностей, Федя сможет построить точки, симметричные $A_i$ относительно $AC$, и перпендикуляры из $A_i$ на $AC$. Аналогично строятся перпендикуляры из точек $B_i$ на $BC$. Точки пересечения этих перпендикуляров – ортоцентры треугольников $CA_iB_i$ – лежат на высоте из вершины $C$.
Ответ
Да.
Источники и прецеденты использования
