Задача 66978
|
|
 |
Условие
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точки $A_0$, $B_0$, $C_0$ – середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Биссектриса угла $C$ пересекает прямые $A_0C_0$ и $B_0C_0$ в точках $B_1$ и $A_1$. Докажите, что прямые $AB_1$, $BA_1$ и $A_0B_0$ пересекаются в одной точке.Решение
Точки $A_1$, $B_1$ являются проекциями $A$, $B$ на биссектрису $CL$, т.е. $AB_1BA_1$ – трапеция. Поэтому точка $T$ пересечения $AB_1$ с $A_1B$, $L$ и середины отрезков $AA_1$, $BB_1$ лежат на одной прямой и образуют гармоническую четверку. Спроецировав эти точки на $CL$ прямыми параллельными $AB$, и сделав гомотетию с центром $L$ и коэффициентом 2, получим гармоническую четверку $C$, $L$, $A_1$, $B_1$. Значит, $T$ лежит на $A_0B_0$.
