Задача 66983

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Бродский Д.Ю.

Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $S$. Точки $X$, $Y$ на биссектрисе угла $S$ таковы, что $\angle AXC-\angle AYC=\angle ASC$. Докажите, что $\angle BXD-\angle BYD=\angle BSD$.

Решение

Пусть $C'$ – точка, симметричная $C$ относительно $SX$, $Y'$ – такая точка на луче $CX$, что $SX\cdot SY'=SB\cdot SD=SA\cdot SC$. Тогда $SX\cdot SY'=SC'\cdot SA$, т.е. $X$, $Y'$, $A$, $C'$ лежат на одной окружности. Следовательно, $\angle AY'S=\angle SC'X=\angle SCX$. Аналогично $\angle XY'C=\angle SAX$, значит $\angle AXC=\angle SAX+\angle SCX+\angle ASC=\angle AY'C+\angle ASC$ и $Y'$ совпадает с $Y$. Тогда аналогично получаем, что $\angle ASD=\angle BXD-\angle BYD$.

Замечания

Можно также показать, что $\angle XAY=\angle XCY$, $\angle XBY=\angle XDY$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
класс
Класс	10
задача
Номер	10.6