Задача 66995
|
|
 |
Условие
На высотах $AA_0$, $BB_0$, $CC_0$ остроугольного неравностороннего треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $A_1, B_1, C_1$ так, что $AA_1 = BB_1 = CC_1 = R$, где $R$ – радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника $ABC$.
Решение
Заметим, что если $O$ – центр описанной окружности, то ∠$ACO$ = ∠$C_0CB$ = $\frac{\pi}{2}$ – ∠$B$. Следовательно, точки $O$ и $C_1$ симметричны относительно биссектрисы угла $C$ и $IC_1 = IO$, где $I$ – центр вписанной окружности. Аналогично $IO = IA_1 = IB_1$, то есть $I$ – центр описанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$.
