Задача 67007
|
|
 |
Условие
Пусть $X$ — некоторая фиксированная точка на стороне $AC$ треугольника $ABC$ ($X$ отлична от $A$ и $C$). Произвольная окружность, проходящая через $X$ и $B$, пересекает отрезок $AC$ и описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$, отличных от $X$ и $B$. Докажите, что все возможные прямые $PQ$ проходят через одну точку.Решение
Обозначим вторую точку пересечения $PQ$ и окружности $(ABC)$ через $S$.
Тогда $\angle (BX, XC) = \angle (BX, XP) = \angle (BQ, QP) = \angle (BQ, QS)=\rm{const}$ (равенство в ориентированных углах). Получили, что угол $(BQ, QS)$, опирающийся на дугу $BS$ окружности $(ABC)$, постоянный, а значит и длина дуги $BS$ постоянна, и тогда точка $S$ не зависит от выбора окружности.
