|
|
 |
Условие
Можно ли расположить в пространстве пять сфер так, чтобы для каждой из сфер можно было провести через ее центр касательную плоскость к остальным четырем сферам? Сферы могут пересекаться и не обязаны иметь одинаковый радиус.Решение 1
Возьмём в горизонтальной плоскости $\alpha$ правильный треугольник с высотой 2. Пусть $J$ – центр одной из его вневписанных окружностей, а $A$, $B$, $C$ – середины его сторон.
Выберем такие сферы: три с центрами в $A$, $B$, $C$ радиуса 1; две радиуса 2 с центрами в точках $J'$ и $J''$, получающихся из $J$ поднятием и опусканием относительно $\alpha$ на 1.
Теперь осталось провести требуемые плоскости. Плоскость через $J'$, параллельная $\alpha$, касается четырёх остальных сфер; для $J''$ аналогично. Осталось провести плоскость, скажем, через $A$; она перпендикулярна $\alpha$ и содержит сторону треугольника, на которой лежит $A$.
Все проверки достаточно просты.
Решение 2
Центр сферы $S_0$ поместим в точке $A_0$ с координатами $(0, 0, 0)$, радиус $r$ этой сферы выберем позже. Остальные сферы $S_i$, $i=1, 2, 3, 4$ возьмем радиуса 1, а центры этих сфер поместим в точки $A_1(a, 0, 1)$, $A_2(-a, 0, 1)$, $A_3(0, a, -1)$, $A_4(0, -a, -1)$ ($a$ выберем позже).
Плоскость $Oxy$ проходит через $A_0$ и касается сфер $S_i$, $i=1, 2, 3, 4$.
Можно подобрать $a$ так, чтобы плоскость $A_2A_3A_4$ находилась на расстоянии $\varrho_1=1$ от точки $A_1$, тогда плоскость $\sigma_1$, проходящая через $A_1$ и параллельная плоскости $A_2A_3A_4$, будет касаться сфер $S_i$, $i=2, 3, 4$. Действительно, уравнение плоскости $A_2A_3A_4$: $2x+az+a=0$. Тогда $\varrho_1= \dfrac{4a}{\sqrt{4+a^2}}$ и достаточно положить $a=\sqrt{\dfrac{4}{15}}$.
Положим $r$ равным расстоянию от $A_0$ до плоскости $\sigma_1$, так, чтобы плоскость $\sigma_1$ касалась также и сферы $S_0$.
Конструкция переводится в себя при симметрии относительно плоскостей $Oxz$, $Oyz$, а также при композиции поворота на $90^{\circ}$ вокруг оси $Oz$ и симметрии относительно плоскости $Oxy$. Поэтому условие задачи выполняется также для центров сфер $S_i$, $i=2, 3, 4$.
