Условие
У каждого из девяти натуральных чисел $n, 2n, 3n,\ldots,9n$ выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном $n$ среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?
Решение
Например, подходит $n = 25$. Для этого значения $n$ получим числа
$25$, $50$, $75$, $100$, $125$, $150$, $175$, $200$, $225.$
Каждое из них начинается на одну из четырёх цифр $1$, $2$, $5$, $7$.
Ответ
Да, может.
Замечания
Можно доказать, что меньше четырёх различных цифр получиться не могло. Ровно четыре различные цифры получается для натуральных чисел из интервалов вида
$$ [25{\underbrace{0\ldots 0}_{k-1}}, 2{\underbrace{9\ldots9}_{k}}\mkern1mu]
\quad\text{и}\quad
[3{\underbrace{3\ldots 3}_{k-1}}4, 3{\underbrace{9\ldots9}_{k}}\mkern1mu],
$$
где $k$ – произвольное натуральное число.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
85 |
|
Год |
2022 |
|
класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
1 |
