Задача 67019

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Прямоугольники $ABCD$ и $DEFG$ расположены так, что точка $D$ лежит на отрезке $BF$, а точки $B$, $C$, $E$, $F$ лежат на одной окружности (см. рисунок). Докажите, что $\angle ACE = \angle CEG$.

Решение

Так как точки $B$, $C$, $E$, $F$ лежат на одной окружности, то $$\angle ACE = \angle BCE - \angle ACB = (180^\circ - \angle BFE) - \angle ACB = 180^\circ - \angle DFE - \angle ACB.$$ Аналогично, $$\angle CEG = \angle CEF - \angle FEG = (180^\circ - \angle CBF) - \angle FEG = 180^\circ - \angle CBD - \angle FEG.$$

Поскольку $ABCD$ и $DEFG$ – прямоугольники, то $\angle ACB = \angle CBD$ и $\angle DFE = \angle FEG$. Тогда выражения в левых частях равенств выше равны, поэтому $\angle ACE = \angle CEG$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	85
Год	2022
класс
Класс	9
задача
Номер	2