|
|
 |
Условие
Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми – тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми – тоже узел этой сетки?Решение
Лемма. Среди любых пяти узлов сетки из правильных треугольников найдутся два, середина отрезка между которыми – тоже узел сетки.
Доказательство леммы. Введём начало отсчёта в одном из узлов сетки и обозначим за $\vec{a}$ и $\vec{b}$ радиус-векторы к двум ближайшим узлам, как на рисунке. Тогда узлы сетки суть точки вида $m\vec{a}+ n\vec{b}$ для целых $m$ и $n$. По принципу Дирихле из пяти точек найдутся две точки $m_1\vec{a}+ n_1\vec{b}$ и $m_2\vec{a}+ n_2\vec{b}$, у которых одновременно совпадает чётность $m_1$ и $m_2$ и чётность $n_1$ и $n_2$. Середина отрезка, соединяющего эти две точки, есть точка $\frac{m_1+m_2}2\mkern2mu \vec{a}+ \frac{n_1+n_2}2 \mkern2mu\vec{b}$. Она является узлом сетки, так как числа $\frac{m_1+m_2}2$ и $\frac{n_1+n_2}2$ являются целыми в силу одинаковой чётности $m_1$ и $m_2$, $n_1$ и $n_2$.
Решение. На рисунке слева можно увидеть пример расположения 8 узлов сетки, среди которых нет двух, середина отрезка между которыми – узел сетки. Докажем, что девяти узлов достаточно. Заметим, что шестиугольная сетка разбивается в объединение двух треугольных (см. рисунок справа). По принципу Дирихле среди любых девяти узлов по крайней мере пять окажутся в одной из этих двух треугольных сеток. По лемме среди этих пяти узлов найдутся два искомых.
