Задача 67041
|
|
 |
Условие
Выпуклый $n$-угольник ($n$ > 4) обладает таким свойством: если диагональ отсекает от него треугольник, то этот треугольник равнобедренный. Докажите, что среди любых четырёх сторон этого n-угольника есть хотя бы две равных.
Решение
Рассмотрим группы равных сторон, расположенных подряд. Заметим, что на стыке таких групп находится острый угол $n$-угольника – угол при основании равнобедренного треугольника. Но в многоугольнике не может быть больше трёх острых углов (сумма внешних углов равна 360°, поэтому среди них не больше трёх тупых), значит, этих групп не больше трёх. Следовательно, среди каждых четырёх сторон найдутся две из одной группы, то есть равные.
Замечания
5 баллов
