|
|
 |
Условие
Дан отрезок $AB$. Точки $X, Y, Z$ в пространстве выбираются так, чтобы $ABX$
был правильным треугольником, а $ABYZ$ – квадратом.
Докажите, что ортоцентры всех получающихся таким образом треугольников $XYZ$ попадают на некоторую фиксированную окружность.
Решение
Пусть $AB$ = 2, $O$ и $M$ – середины отрезков $AB$ и $YZ$ соответственно, $H$ – ортоцентр треугольника $XYZ$. Поскольку треугольник $XYZ$ равнобедренный, точка $H$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $YZ$, то есть в плоскости π, перпендикулярной $AB$ и проходящей через $O$. Точка $X$ лежит на окружности Ω радиуса с центром $O$, лежащей в π. Пусть прямая $XM$ второй раз пересекает Ω в точке $W$ (если $XM$ касается Ω, то точки $X$ и $W$ совпадают), а прямая $OM$ пересекает Ω в точках $P$ и $Q$. Тогда
Пусть $YN$ – высота треугольника $XYZ$. Прямая $YN$ пересекает прямую $XM$ в ортоцентре $H$. Заметим, что прямоугольные треугольники $HYM$ и $YXM$ подобны, так что
$MH : MY = MY : MX$. Поскольку $MY$ = 1, то $MX·MH$ = 1. Поэтому $MH = MW$, а так как обе точки $H$ и $W$ лежат на луче $MX$, они совпадают. Таким образом, $H$ лежит на Ω.
Замечания
6 баллов
