Условие
Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $A_2$ – точка касания вписанной окружности треугольника $AB_1C_1$ со стороной $B_1C_1$; аналогично определяются точки $B_2$, $C_2$. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.
Решение
Так как треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны, $B_1A_2:A_2C_1=(p-b):(p-c)$, где $a$, $b$, $c$, $p$ – длины сторон и полупериметр треугольника $ABC$. Аналогично получаем, что $C_1B_2:B_2A_1=(p-c):(p-a)$ и $A_1C_2:C_2B_1=(p-a):(p-b)$. Из теоремы Чевы получаем утверждение задачи.
Источники и прецеденты использования
