|
|
 |
Условие
Дан треугольник $ABC$. Прямая $AB$ касается его вписанной окружности в точке $C'$, а вневписанной, касающейся стороны $BC$, – в точке $C'_a$. Аналогично определяются точки $C'_b$, $C'_c$, $A'$, $A'_a$, $A'_b$, $A'_c$, $B'$, $B'_a$, $B'_b$, $B'_c$. Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников $A'B'C'$, $A'_aB'_aC'_a$, $A'_bB'_bC'_b$, $A'_cB'_cC'_c$.а) Какое наибольшее число различных может быть среди них?
б) Найдите все возможные количества различных длин.
Решение
а) Заметим, что прямые $A'B'$ и $A'_cB'_c$ перпендикулярны биссектрисе угла $C$. Кроме того, $BA'=AB'_c=p-b$ и $AB'=BA'_c=p-a$, где $a$, $b$, $c$, $p$ – длины сторон и полупериметр треугольника $ABC$. Поэтому расстояния от $A$ до $A'B'$ и от $B$ до $A'_cB'_c$ равны. Аналогично равны расстояния от $B$ до $A'B'$ и от $A$ до $A'_cB'_c$. А, поскольку $AC'=BC'_c$, то и высоты треугольников $A'B'C'$, $A'_cB'_cC'_c$ из $C'$, $C'_c$ соответственно также равны. Аналогично получаем равенства еще пяти пар высот, т.е. среди 12 отрезков всегда есть шесть пар равных.
б) Углы треугольника $A'B'C'$ равны $\frac{\pi - A}{2}$, $\frac{\pi - B}{2}$, $\frac{\pi-C}{2}$, а треугольника $A'_cB'_cC'_c$ – $\frac{A}{2}$, $\frac{B}{2}$, $\frac{\pi-C}{2}$. По теореме синусов высоты этих треугольников равны $2 r \cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2}$, $2 r \cos\frac{A}{2} \cos\frac{C}{2}$, $2r \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}$ и $2 r_c \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2}$, $2 r_c \sin\frac{A}{2} \cos\frac{C}{2}$, $2 r_c \sin\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}$, где $r$, $r_c$ – радиусы вписанной и вневписанной окружностей. Аналогичными формулами задаются высоты двух оставшихся треугольников. При этом из п.а) получаем, что $r : r_c = \operatorname{tg}\frac{A}{2} \operatorname{tg}\frac{B}{2}$. Поэтому при $B = \pi/2$ получаем, что $2 r \cos\frac{A}{2} = 2 r_c \sin\frac{A}{2}$, т.е. мы имеем уже четыре равных высоты. Соответственно в неравнобедренном прямоугольном треугольнике будет пять различных длин, в равнобедренном непрямоугольном – четыре, в равнобедренном прямоугольном – три и в равностороннем – две.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2022 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 14 [8-11 кл] |
