Условие
Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ произведения противоположных сторон равны. Точка $B'$ симметрична $B$ относительно прямой $AC$. Докажите, что окружность, проходящая через точки $A$, $B'$, $D$, касается прямой $AC$.
Решение
Построим окружности, проходящие через $B'$ и касающиеся прямой $AC$ в точках $A$ и $C$. Пусть $D'$ – вторая точка пересечения этих окружностей. Так как $\angle CAD'+\angle ACD'=\angle AB'D'+\angle CB'D'=\angle B$, точка $D'$ лежит на описанной окружности четырехугольника. Кроме того, середина диагонали $AC$ лежит на прямой $B'D'$, поскольку касательные, проведенные из нее к окружностям, равны. Поэтому $\frac{AD'}{CD'}=\frac{\sin\angle ACD'}{\sin\angle CAD'}=\frac{\sin\angle CB'D'}{\sin\angle AB'D'}=\frac{AB'}{CB'}=\frac{AC}{BC}$, т.е. $D'$ совпадает с $D$.
Источники и прецеденты использования
