|
|
 |
Условие
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Пусть $P$ – точка пересечения его диагоналей, а точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность $OPM$ вторично пересекает отрезки $AP$ и $BP$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно, а окружность $OPN$ вторично пересекает отрезки $CP$ и $DP$ в точках $C_1$ и $D_1$ соответственно. Докажите, что площади четырёхугольников $AA_1B_1B$ и $CC_1D_1D$ равны.Решение
Так как $PM$, $PN$ – медианы подобных треугольников $PAB$ и $PDC$, а $OM$, $ON$ – серединные перпендикуляры к соответствующим сторонам этих треугольников, то $\angle PMO=\angle PNO$, а значит равны и радиусы двух окружностей. Тогда $\angle OA_1C_1=\angle OC_1A_1$, следовательно, $OA_1=OC_1$ и $AA_1=CC_1$. Аналогично получаем, что $OB_1=OD_1$ и $BB_1=DD_1$. Пусть прямая, проходящая через $P$ и перпендикулярная $OP$, пересекает $AB$ и $CD$ в точках $M_1$, $N_1$ соответственно. Так как $\angle OMM_1=\angle ONN_1=90^{\circ}$, эти точки лежат на окружностях $OMP$ и $ONP$ соответственно, причем $OM_1=ON_1$. Тогда треугольники $OM_1A_1$ и $ON_1C_1$ равны по двум сторонам и углу, т.е. $A_1M_1=C_1N_1$. Аналогично $B_1M_1=D_1N_1$ и $A_1B_1=C_1D_1$. Таким образом, треугольники $A_1B_1M_1$ и $C_1D_1N_1$ равны. Кроме того, высоты треугольников $M_1BB_1$ и $N_1DD_1$, опущенные на стороны $BB_1$ и $DD_1$, равны, потому что симметричны относительно $P$, а значит равны и площади этих треугольников. Аналогично равны площади треугольников $M_1AA_1$ и $N_1CC_1$. Отсюда, очевидно, следует искомое равенство площадей.
