Условие
Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AB=CD$). На описанной около неё окружности выбирается точка $P$ так, что отрезок $CP$ пересекает основание $AD$ в точке $Q$. Пусть $L$ – середина $QD$. Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой $PL$.
Решение
Пусть $E$ – середина стороны $AB$, $F$ – середина стороны $CD$, $G$ – середина $CQ$, $E_1$ – точка симметричная $E$ относительно $PL$. Докажем, что $E_1F=AC$ (этого достаточно для решения задачи по известной лемме о минимуме суммы расстояний от двух точек до прямой). Для этого покажем равенство треугольников $LE_1F$ и $AGC$. Действительно, $AG=EL=E_1L$ (первое равенство из равнобокой трапеции $AEGL$, второе в силу симметрии), $LF=QC/2=GC$, $\angle PLE_1=\angle ELP$. Далее, пятиугольник $PAEGL$ вписанный, поскольку $AEGL$ – равнобокая трапеция и $\angle APC=\angle ADC=\angle ALG$. Значит, $\angle ELP=\angle EGP=\angle ALR$ (где $R$ точка на продолжении $FL$ за $L$) и $\angle RLE_1=\angle ALE_1-\angle ALR=\angle ALE_1-\angle PLE_1=\angle ALP=\angle AGP$. Откуда получаем, что $\angle E_1LF=\angle AGC$ и треугольники равны по углу и двум сторонам.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2022 |
|
класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
8.8 |
