Задача 67122
|
|
 |
Условие
Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $E$, причем $AD = AE = EB$. На отрезке $CE$ отметили точку $F$, так что $ED = CF$. Биссектриса угла $AFC$ пересекает дугу $DAC$ в точке $P$. Докажите, что точки $A$, $E$, $F$ и $P$ лежат на одной окружности.Решение
Так как треугольник $AED$ – равнобедренный, то и треугольник $BCE$ – равнобедренный, а, поскольку $AD=BE$, $DF=CE=CB$ и $\angle ADF=\angle EBC$, то этот треугольник равен треугольнику $AFD$. Поэтому $PF\parallel AD$ и $\angle PFD = 180^\circ - \angle ADF = \angle AEF$, т.е. прямые $AE$ и $PF$ симметричны относительно серединного перпендикуляра к $FE$, то есть относительно диаметра окружности. Значит, точки $P$ и $A$ также симметричны относительно диаметра окружности, из чего делаем вывод, что $AEFP$ – равнобокая трапеция.
