Задача 67123

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Бродский Д.Ю.

Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ ($AD > BC$) пересекаются в точке $P$. На отрезке $AD$ нашлась такая точка $Q$, что $BQ=CQ$. Докажите, что линия центров окружностей, описанных около треугольников $AQC$ и $BQD$, перпендикулярна прямой $PQ$.

Решение

Пусть окружность $AQC$ вторично пересекает прямую $AP$ в точке $X$, а окружность $BQD$ вторично пересекает прямую $DP$ в точке $Y$. Тогда $\angle AXC=\angle CQD=\angle BQA=\angle BYD$. Следовательно, точки $B$, $C$, $X$, $Y$ (а значит, и $A$, $D$, $X$, $Y$) лежат на одной окружности, т.е. $PX:PY=PC:PB=PD:PA$ и $PQ$ – радикальная ось окружностей $AQC$ и $BQD$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
класс
Класс	9
задача
Номер	9.6