|
|
 |
Условие
В маленьком доме в Португалии пол выложен из четырёхугольных плиток одинаковой формы и размера (см. рис.). Найдите все четыре угла плитки. Ответ дайте в градусах.Решение
В центре мозаики 6 одинаковых углов с общей вершиной образуют полный угол, значит, каждый из них равен 360∘ : 6 = 60∘.
Несколько правее полный угол в 360∘ складывается из уже известного нам угла 60∘ и ещё двух равных между собой — следовательно, они составляют по 150∘.
Аналогичным образом вычисляестя ещё один угол: он равен (360∘ − 150∘) : 2 = 105∘.
Последний угол плитки можно вычислить, зная сумму углов четырёхугольника, либо же с помощью ещё одной вершины мозаики: (360∘ − 150∘ − 2 · 60∘) : 2 = 45∘. Таким образом, углы плитки равны 45∘, 60∘, 105∘ и 150∘.
Комментарии.
1) Заметим также, что такую плитку одна из диагоналей делит на равносторонний и прямоугольный равнобедренный треугольники.
2) Разбиение плоскости на многоугольники без дырок и наложений называется замощением. Замощения бывают как периодические (есть два разных направления, при
сдвиге в каждом из которых замощение совмещается само с собой) и непериодические
(таких сдвигов нет). В задаче приведена часть непериодического замощения плоскости
такими четырехугольными плитками, которое придумал Gábor Damásdi. Но такими четырехугольниками можно замостить плоскость и периодически (придумайте, как — комментарий 1 поможет). А бывает ли многоугольник, которым можно замостить плоскость
только непериодически? Это не известно!
