|
|
 |
Условие
Коттеджный посёлок имеет размеры 𝑛 × 𝑚 одинаковых квадратных участков. Собственники по очереди начали огораживать свои участки забором. Стоимость части забора между любыми двумя соседними участками составила 10 тысяч рублей и её полностью нёс тот сосед, который огораживал свой участок первым (расходы не делились между соседями, то есть некоторые могли вообще ничего не потратить). В итоге все участки оказались огорожены забором с четырёх сторон. Могло ли оказаться, что в итоге поровну жителей потратило на забор по 0, 10, 30 и 40 тысяч рублей, а остальные — по 20 тысяч?Решение 1
Разобьём часть жителей на пары: того, кто потратил 40 тысяч, поставим в пару с не потратившим ничего, а того, кто потратил 30 тысяч — в пару с потратившим 10. Тогда каждая пара заплатила за заборы 40 тысяч, а все остальные по 20 тысяч — то есть, в среднем каждый житель посёлка заплатил 20 тысяч.
С другой стороны, пусть каждый построит левый и верхний забор своего участка.
Тогда каждый уже потратил по 20 тысяч, но правые и нижние заборы по краям посёлка
пока ещё не построены (и на них жителям все равно придётся «скинуться»). Поэтому в
среднем каждый потратит больше 20 тысяч рублей — противоречие.
Решение 2
Предположим, что описанная в условии ситуация возможна. Пусть по 0, 10, 30 и 40 тысяч рублей потратили по 𝑥 жителей, а по 20 тысяч — 𝑦 жителей. Всего жителей тогда 4𝑥 + 𝑦 = 𝑚𝑛.Cуммарно все жители потратили на строительство заборов (0 + 10 + 30 + 40)𝑥 + 20𝑦 = 80𝑥 + 20𝑦 тысяч рублей. С другой стороны, они построили заборы на каждом отрезке, ограничивающем клетки–участки. Посчитаем, сколько всего таких отрезков. Карта посёлка — это таблица 𝑚 × 𝑛 клеток-участков. В каждой из 𝑚 «строк» этой карты есть по 𝑛 + 1 вертикальному отрезку, в каждом из 𝑛 «столбцов» — по 𝑚 + 1 горизонтальному отрезку. Всего отрезков тогда 𝑚(𝑛 + 1) + 𝑛(𝑚 + 1) = 2𝑚𝑛 + 𝑚 + 𝑛, и на строительство заборов на них жители потратили 20𝑚𝑛 + 10𝑚 + 10𝑛 тысяч рублей.
Но полученные два равенства противоречат друг другу:
$$20𝑚𝑛 = 20(4𝑥 + 𝑦) = 80𝑥 + 20𝑦 = 20𝑚𝑛 + 10𝑚 + 10𝑛 > 20𝑚𝑛.$$
