|
|
 |
Условие
Для каждого из чисел 1, 19, 199, 1999 и т. д. изготовили одну отдельную карточку и записали на ней это число.а) Можно ли выбрать не менее трёх карточек так, чтобы сумма чисел на них равнялась числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки?
б) Пусть выбрали несколько карточек так, что сумма чисел на них равна числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки. Какой может быть его цифра, отличная от двойки?
Решение
а) Например, 19 + 199 + 1999 + ... + 199999999 = 222222212.б) Пример. Пример с нулём: 1 + 19 = 20; пример с 1 дан в пункте а).
Оценка. Заметим, что $10^n \leqslant 1\underbrace{9...9}_{n} < 2 \cdot 10^n$. Поэтому сумма $S$ чисел на выбранных $k$ карточках удовлетворяет неравенству $E \leqslant S < 2E$, где число $E$ состоит из $k$ единиц и, возможно, нескольких нулей. Значит, в записи $S$ и $2E$ одинаковое количество цифр, причём хотя бы одна цифра числа $S$ меньше соответствующей цифры числа $2E$, т. е. меньше 2. Это может быть только цифра 0 или 1.
Ответ
а) можно.б) 0 или 1.
