|
|
 |
Условие
У царя есть 7 мешков с золотыми монетами, в каждом по 100 монет. Царь помнит, что в одном мешке все монеты весят 7 г, во втором 8 г, в третьем 9 г, в четвёртом 10 г, в пятом 11 г, в шестом 12 г, в седьмом 13 г, но не помнит, где какие. Царь сообщил это придворному мудрецу и указал на один из мешков. Мудрец
может вынимать из этого и из других мешков любое количество монет, но на вид они все одинаковы. Однако у мудреца есть большие двухчашечные весы без гирь (они точно покажут, равны ли веса на чашках, а если нет, то какая чашка тяжелее). Может ли мудрец определить, какие монеты в указанном мешке, сделав не более двух взвешиваний?
Решение
Заметим что если взять из каждого мешка по монете, то их суммарный вес будет равен 7 + 8 + ... + 13 = 70 грамм. Назовём такой набор монет комплектом.Пусть в указанном царём мешке монеты весят x грамм каждая. Если взять 70 таких монет, то их вес равен 70 x — такой же, как у x комплектов. То есть если мудрец узнает, сколько комплектов нужно, чтобы уравновесить эти 70 монет, он ответит на вопрос царя.
Пускай первым взвешиванием мудрец сравнит вес этих 70 монет и 10 комплектов. Если весы в равновесии, то x = 10 и задача решена, если монеты перевесили, то x > 10, если перевесили комплекты, то x < 10.
Если мудрец знает, что x > 10, то за одно взвешивание он легко выяснит, весят монеты 11, 12 или 13 г каждая. Действительно, теперь можно сравнить вес 70 монет и 12 комплектов. Если монеты перевесили, то x = 13, если весы в равновесии, то x = 12, если комплекты перевесили, то x = 11.
Аналогичным образом мудрец может поступить в случае x < 10: монеты тогда могут весить по 7, 8 или 9 г, так что осталось сравнить вес 70 монет и 8 комплектов.
Отметим, что при каждом взвешивании мудрец использует не более чем 70 + 12 монет из мешка, на который указал царь, и не более чем по 12 монет из остальных мешков. Так что монет в мешках ему хватит.
Ответ
Да, может.Замечания
- Если снять с обеих чаш одинаковый набор монет, то результат взвешивания не изменится. Пользуясь этим соображением, мудрец сможет решить задачу и когда в каждом мешке хотя бы по 31 монете.
- В решении используется лишь суммарный вес 7 монет. Поэтому аналогичным образом можно решить задачу не только для монет весом 7, 8, ..., 13 грамм, но и для любого другого набора из семи различных весов (при достаточном количестве монет в мешках).
